1. CAP´
ITULO 2
´ ´
METODOS DE SOLUCION
as
atic
atem
eM
2.1. VARIABLES SEPARABLES
o. d
dy g(x)
Definici´n 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
o de variables separables. ept
,D
uia
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
tioq
do:
h(y) dy = g(x) dx + C,
An
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
de
ad
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
rsid
o exponenciales de constantes o si aparecen varias constantes reunirlas en una
ive
sola constante.
Un
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7

2. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
separando variables
dy
= e3x dx
e2y
e integrando
1 e3x
− e−2y + C =
2 3
la soluci´n general es
o
as
e3x e−2y
atic
+ =C
3 2
atem
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
eM
Soluci´n: separando variables
o
o. d
2x
y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
ept
,D
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
= √ haciendo
uia
2 1 + x2 du = 2xdx
tioq
obtenemos
1 du
An
= √
2 u
de
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
e integrando = +C
ad
1
−2 2 2
rsid
soluci´n general
o
ive
1 √
− = 1 + x2 + C.
Un
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
8

3. 2.1. VARIABLES SEPARABLES
luego C = −32
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
as
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))
atic
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0
atem
(Rta. y = − cos 1 )
x+c
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
eM
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y)
o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y 2
=e
(Rta. ln y = csc x − cot x) ept
,D
dy xy + 3x − y − 3
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
uia
y+3 5 y−x
(Rta. ( x+4 ) = Ce )
tioq
Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
An
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de
dy
Ejercicio 7. dx − y 2 = −9 que pase por los puntos:
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 1 , 1
ad
3
(Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x )
rsid
y+3 y+3 2
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
ive
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
Un
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t)
es la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t)
en funci´n de c(0); cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
9

4. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2 : f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
as
atic
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
atem
Definici´n 2.3 .Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
eM
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
o. d
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en-
tonces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. ho-
e ept
mog´nea.
e
,D
uia
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a
tioq
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
An
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
de
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
ad
donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
rsid
diante la sustituci´n y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables
o ´ ´
dependientes), puede transformarse en un ecuaci´n en variables separables.
o
ive
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
Un
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
usar la sustituci´n x = vy.
o
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
10

5. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de orden 1
e homog´nea de orden 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x
La sustituci´n m´s sencilla es: y = ux, por tanto dy = u dx + x du
o a
Sustituyendo en la E.D.
as
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
atic
o sea que
atem
x dx − x2 eu du = 0
eM
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
o. d
dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
Por lo tanto la soluci´n general es
o ept
,D
y
ln x = e x + C
uia
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
tioq
tuimos en la soluci´n general y obtenemos:
o
An
0
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
de
Por lo tanto, y
ad
ln x = e x − 1
rsid
es la soluci´n particular
o
ive
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homog´nea)
e
Un
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homog´nea:
e
dy = αz α−1 dz
11

6. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
as
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
atic
atem
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
Es homog´nea de orden −2.
e
eM
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
o. d
ept
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
,D
uia
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
tioq
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
An
de
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
ad
rsid
z −2 dz 2u
−1
+ 2 du = 0
z u +1
ive
dz 2u
Un
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
12

7. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
es la soluci´n general.
o
as
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, o con-
e e ´
atic
vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso:
e u
atem
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
y
(Rta.: C = x cos x )
eM
dy
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
o. d
y
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
y
ept
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
,D
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
uia
(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
tioq
−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
An
y
(Rta.: ln x = 1 e x +c )
2
de
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
ad
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx )
rsid
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
ive
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
Un
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
1 2 y
(Rta.: ln |x| − 2 ln | x | = C)
13

8. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
donde y(0) = 1
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y
as
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atic
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,
atem
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
eM
3
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
o. d
y
(Rta.: x(1 − x )4 = C)
ept
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
,D
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
uia
donde y(e) = 1
tioq
y
(Rta.: x ln | x | = −e)
An
de
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
ad
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
rsid
Se presentan dos casos:
ive
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
Un
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaci´n homog´nea de grado 1:
o e
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
14

9. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
as
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
atic
√
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )
atem
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
eM
(Rta.: (x + y + 1)3 = C 2 (y − x + 3))
o. d
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
ept
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
,D
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
2
uia
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
tioq
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
An
(Rta.: C −2 = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
de
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
ad
(Rta.: C −2 = (x − 3)2 − 2(y + 2)(x − 3) − (y + 2)2 )
rsid
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
4
ive
5
Un
2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces
∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y
15

10. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy
∂x ∂y
.
Definici´n 2.4 .La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
as
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
atic
total de alguna funci´n f (x, y).
o
atem
La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas) .
o. d
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o ept
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o
saria y suficiente para que la forma diferencial
,D
M (x, y) dx + N (x, y) dy
uia
tioq
sea una diferencial exacta es que
∂M ∂N
An
= .
∂y ∂x
de
ad
Demostraci´n: Como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta,
o
rsid
entonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
ive
∂f ∂f
M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
Un
luego
∂f
M (x, y) =
∂x
y
∂f
N (x, y) =
∂y
16

11. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
as
∂x ∂y
atic
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ∂y
= ∂x
.
atem
∂f
ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
eM
∂x
y constante:
o. d
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
ept
,D
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
uia
∂f ∂
= M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
tioq
∂y ∂y
An
despejar
de
∂
g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
ad
∂y
rsid
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
ive
∂ ∂ ∂N ∂ ∂
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
Un
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
17

12. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
Soluci´n:
o
paso i) 
∂M x
= 4xy + e 
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N  ∂y ∂x
as
= 4xy + ex 

∂x
atic
paso ii)
atem
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
eM
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
o. d
paso iii)
∂f
= M = 2xy 2 + yex
ept
,D
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
uia
∂x
tioq
paso iv) h(x) = C
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
An
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
de
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
ad
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
rsid
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
ive
Un
Soluci´n:
o
∂M
= 2xy + bx2
∂y
∂N
= 3x2 + 2xy ⇒ b = 3
∂x
18

13. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2,4) : f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y)
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2
derivamos (2,6) con respecto a y
as
∂f
atic
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2,5) y (2,7)
atem
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y)
K = g(y)
eM
o. d
reemplazamos g(y) en (2,6)
x2
f (x, y) = y 2
2
ept
+ x3 y + K = C 1
,D
y 2 x2
= + x3 y = C
2
uia
que es la soluci´n general.
o
tioq
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
An
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
de
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
ad
rsid
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
ive
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
Un
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguiente
o
E.D.O sea exacta:
1
M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
19

14. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
1 y
(Rta.: M (x, y) = 2 y 2 ex (x + 1) + y 2 − x2
+ g(x))
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
x +y
1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
as
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
atic
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
atem
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
eM
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
o. d
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
ept
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
,D
uia
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
tioq
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
An
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
de
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
ad
(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
rsid
ive
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
Un
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
20

15. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
2.5. ´
FACTORES DE INTEGRACION
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.) . Sea la E.D.
o
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
as
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
atic
(F.I.).
atem
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
eM
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
2 2
x dx + y dy.
o. d
Anlogamente: para x dy + y dx = d(xy).
ept
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
,D
factor integrante.
uia
Para y dx − x dy, las expresiones:
tioq
An
1 1 1 1 1
µ= 2
; µ= 2; µ= ; µ= 2 2
; µ= 2
y x xy x +y ax + bxy + cy 2
de
son factores integrantes.
ad
rsid
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante) :
Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
ive
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
Un
∂M ∂N dµ dµ
µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
Demostraci´n: Si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
21

16. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
∂ ∂
(µM ) = (µN )
∂y ∂x
o sea que
∂M ∂µ ∂N ∂µ
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
as
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
atic
dy
como dx
= − M , entonces:
N
atem
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
eM
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
o. d
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y ept
,D
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
uia
dx ∂x ∂y dx
tioq
Nota.
∂M
− ∂N
An
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
de
luego µ = ke f (x)dx ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx
.
ad
rsid
∂M
∂y
− ∂N
∂x g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ive
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
Un
Soluci´n:
o
∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
∂N
N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
22

17. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
luego
∂M ∂N
− = −2xy + 2
∂y ∂x
por tanto
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
luego
1 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
as
atic
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
atem
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
Paso 1.
eM
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
o. d
y
∂N
= 6xy 2 − 4y ept
∂x
,D
luego es exacta.
uia
Paso 2.
tioq
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
An
Paso 3. Derivando con respecto a y:
de
∂f
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
ad
∂y
rsid
luego g (y) = 0
ive
Paso 4. g(y) = k
Un
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
o
23

18. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
Soluci´n:
o
y x dy − y dx
como d( ) =
x x2
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
as
atic
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
atem
x x x
y 2
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u )dx
eM
du du
luego 2
= dx ⇒ = dx
6 − 5u + u (u − 3)(u − 2)
o. d
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
ept
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
,D
uia
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
tioq
luego
An
(u − 3) (y − 3x)
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
de
Obsrvese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se desprende
e o
ad
de la soluci´n general.
o
rsid
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
ive
m´todo de las exactas:
e
Un
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
(Rta.: sen x cos(2y) + 1 cos2 x = C)
2
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
24

19. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
as
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
atic
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)
atem
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
tan−1 ( = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
eM
(Rta.: 3 2 x
)
o. d
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
ept
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
,D
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
uia
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
tioq
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y
An
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
de
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C)
ad
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
rsid
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
ive
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
Un
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
y(1) = −2, de la E.D.
dy 3x2 y + y 2
=− 3
dx 2x + 3xy
25

20. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
as
My − N x
atic
= R(xy),
yN − xM
atem
t
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
eM
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
o. d
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1 ept
xM +yN
,D
uia
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
tioq
Definici´n 2.6 . Una E.D. de la forma:
o
An
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
de
dx
ad
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
rsid
E.D. lineal en y de primer orden.
ive
Un
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
o forma estandar:
´
dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
a0 (x) h(x)
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
26

21. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden) :
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
y + p(x)y = Q(x)
es :
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
as
Demostraci´n:
o
atic
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.8)
dx
atem
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
∂M ∂N
eM
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
−
o. d
∂y ∂x
= p(x)
N
y por tanto µ = e p(x) dx
= F.I.; multiplicando (2.8) por el F.I.:
ept
,D
p(x) dx dy p(x) dx p(x) dx
uia
e + p(x)ye = Q(x)e
dx
tioq
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
An
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
de
Obsrvese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
o
ad
rsid
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ive
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
Un
Soluci´n:
o
dν ν2
=−
dµ 6 − 2µν
dµ 6 2µ
=− 2 +
dν ν ν
27

22. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dµ 2µ 6
− =− 2
dν ν ν
que es lineal en µ con
2 6
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
as
ν2
atic
La soluci´n general es
o
atem
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν
eM
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
o. d
µ 2 2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2 ept
ν2 ν ν
,D
que es la soluci´n general.
o
uia
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)
tioq
x, 0≤x<1
donde f (x) =
0, x≥1
An
y y(0) = 2
de
ad
Soluci´n:
o
rsid
2xdx 2 2 2
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
ive
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
Un
2 1 2
ex y = 2
ex 2x dx + C
2 1 2
ex y = 2 ex + C, soluci´n general
o
28

23. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C
2
1 3
2= 2
+C ⇒C = 2
1 2 1 3 2
y= 2
+ Ce−x ⇒ y = 2
+ 2 e−x , soluci´n particular
o
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
as
2 2
atic
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
atem
1 2
2
+ 3 e−x
2
0≤x<1
Soluci´n: f (x) =
o 2
Ce−x x≥1
eM
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Por tanto
o. d
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
ept
1 3 −1
+ e = Ce−1
,D
2 2
uia
3 1
+ 2 e−1 1 3 2
⇒C= = e+
tioq
e −1 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado trasformar la E.D.:
An
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y
de
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
ad
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
rsid
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y)
ive
2
2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos
Un
dy 2
sec2 y
+ 2x tan y = xe−x
dx
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
dt dy
= sec2 y .
dx dx
29

24. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Sustituyendo
dt 2
+ 2xt = xe−x , es lineal en t con
dx
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
2x dx 2
F.I. = e = ex
as
Resolvi´ndola
e
atic
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
atem
2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
eM
x2
o. d
2
⇒ tan y ex =
+C
2
Ejercicio 1. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o ept
,D
dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
uia
x, 0≤x<1
tioq
donde f (x) =
−x , x≥1
An
con y(0) = 0.
x2
, si 0 ≤ x < 1
de
2(1+x2 )
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1
ad
dy y
Ejercicio 2. Hallar la soluci´n de la E.D.:
o = con y(5) = 2
rsid
dx y−x
y2
(Rta.: xy = 2
+ 8)
ive
1
Ejercicio 3. Resolver para ϕ(x) la ecuaci´n 0 ϕ(αx) dα = nϕ(x)
o
Un
(Ayuda: con un cambio de variable adecuado transforme la ecuaci´n en una
o
E.D. lineal de primer orden.)
1−n
(Rta.: ϕ(x) = Cx( n ) )
Ejercicio 4. Hallar la soluci´n de la E.D.: y − 2xy = cos x − 2x sen x
o
donde y es acotada cuando x → ∞.
30

25. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
(Rta.: y = sen x)
√ √ √
Ejercicio 5. Hallar la soluci´n de la E.D.: 2 x y −y = − sen x−cos x
o
donde y es acotada cuando x → ∞.
√
(Rta.: y = cos x)
dy
Ejercicio 6. Resolver la E.D.: (x + 2)2 dx
= 5 − 8y − 4xy.
5
(Rta.: y(2 + x)4 = 3 (2 + x)3 + C)
as
dy dy
Ejercicio 7. Resolver la E.D.: y − x dx = dx
y 2 ey .
atic
x
(Rta.: y − xy = C)
atem
Ejercicio 8. El suministro de glucosa al torrente sangu´ıneo es una t´cni-
e
ca importante para detectar la diabetes en una persona. Para estudiar este
eM
proceso, definimos G(t) como la cantidad de glucosa presente en la sangre
de un paciente en el tiempo t. Suponga que la glucosa se suministra al sis-
o. d
gr.
tema sangu´ıneo a una tasa constante k min. . Al mismo tiempo la glucosa se
transforma y se separa de la sangre a una tasa proporcional a la cantidad de
ept
glucosa presente. Construir la E.D. y resolverla. Hallar G(t) cuando t → ∞.
,D
Ejercicio 9. Hallar la soluci´n general en t´rminos de f (x), de la E.D.:
o e
uia
dy f (x)
tioq
+2 y = f (x)
dx f (x)
An
(Rta.: y = 1 f (x) +
3
C
[f (x)]2
)
de
Ejercicio 10. Hallar y(x) en funci´n de f (x) si
o
ad
dy
rsid
+ f (x) y = f (x)y 2
dx
ive
1
(Rta.: y = (1−Ce f (x) dx ) )
Un
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n general de la E.D.
o
(x + 1)y + (2x − 1)y = e−2x
1
(Rta.: y = − 3 e2x + Ce−2x (x + 1)3 )
31

26. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
y + y = 2xe−x + x2 si y(0) = 5
(Rta.: y = x2 e−x + x2 − 2x + 2 + 3e−x )
Ejercicio 13. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
(1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx
as
si y(0) = 1
atic
(Rta.: xy 2 = ln y)
atem
2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE
eM
BERNOULLI
o. d
dy
Definici´n 2.7 . Una E.D. de la forma dx + p(x)y = Q(x)y n con n = 0 y
o
n = 1, se le llama una E.D. de Bernoulli. Obsrvese que es una E.D. no lineal.
ept
La sustituci´n w = y 1−n convierte la E.D. de Bernoulli en una E.D. lineal en
o
,D
w de primer orden:
uia
dw
+ (1 − n)p(x)w = (1 − n) Q(x).
tioq
dx
dy
Ejemplo 13. xy(1 + xy 2 ) dx = 1 con y(1) = 0.
An
Soluci´n:
o
dy 1 dx
= xy (1+xy2 ) ⇒ = xy (1 + xy 2 ) = xy + x2 y 3
de
dx dy
ad
dx
− xy = x2 y 3 (2.9)
rsid
dy
tiene la forma de Bernoulli con variable dependiente x, con n = 2
ive
Hagamos w = x1−2 = x−1 ⇒ x = w−1
Un
dx dw
= −w−2
dy dy
sustituimos en (2.9): −w −2 dw − yw−1 = y 3 w−2
dy
multiplicamos por −w −2 : dw + yw = −y 3 , lineal en w de primer orden.
dy
luego p(y) = y; Q(y) = −y 3
32

27. 2.7. E.D. DE BERNOULLI
y2
P (y) dy y dy
F.I. = e =e =e2
w F.I. = F.I. Q(y) dy + C
y2 y2
we 2 = e 2 (−y 3 ) dy + C
as
y2
hagamos: u = 2
⇒ du = y dy , y 2 = 2u
atic
atem
y2 y2
we 2 = − y 3 e 2 dy + C = −2 ueu du + C
eM
y2
e integrando por partes, obtenemos: w e 2 = −2u eu + 2eu + C
o. d
y2 y2 1 y2 y2
x−1 e 2 = −y 2 e 2 + 2e 2 + C ⇒
x
= −y 2 + 2 + Ce− 2 ept
,D
Como y(1) = 0 entonces C = −1, por lo tanto la soluci´n particular es:
o
uia
1 y2
= −y 2 + 2 − e− 2
tioq
x
Resolver las E.D. de los siguientes ejercicios:
An
dy y x
de
Ejercicio 1. 2 dx = x
− y2
con y(1) = 1.
3 1
3 −2
(Rta.: y x = −3x + 4)
ad
2
rsid
2
Ejercicio 2. y = x3 3x .
+y+1
(Rta.: x3 = −y − 2 + Cey )
ive
Un
Ejercicio 3. tx2 dx + x3 = t cos t.
dt
(Rta.: x3 t3 = 3(3(t2 − 2) cos t + t(t2 − 6) sen t) + C)
x
Ejercicio 4. y = x2 y+y3 .
2
(Rta.: x2 + y 2 + 1 = Cey )
33

28. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
Ejercicio 5. xy + y = x4 y 3 .
(Rta.: y −2 = −x4 + cx2 )
Ejercicio 6. xy 2 y + y 3 = cos x .
x
(Rta.: x3 y 3 = 3x sen x + 3 cos x + C)
Ejercicio 7. x2 y − y 3 + 2xy = 0.
2
(Rta.: y −2 = 5x + Cx4 )
as
Ejercicio 8. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
atic
dx 2 √ x 3
− x = y( 2 ) 2
atem
dy y y
tal que y(1) = 1
eM
(Rta.: y 3 = x)
o. d
Ejercicio 9. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
ept
(1 − 2xy 2 )dy = y 3 dx
,D
tal que y(0) = 1
uia
(Rta.: xy 2 = ln |y|)
tioq
An
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER OR-
de
DEN
ad
Sea
rsid
(y )n + a1 (x, y)(y )n−1 + a2 (x, y)(y )n−2 + . . . + an−1 (x, y)y + an (x, y) = 0,
ive
donde ai (x, y) para i = 1 . . . n son funciones reales y continuas en una regi´n
o
Un
R del plano XY .
Casos:
i) Se puede despejar y .
34

29. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
ii) Se puede despejar y.
iii) Se puede despejar x.
dy
Caso i). Si hacemos p = dx
= y , entonces
pn + a1 (x, y)pn−1 + a2 (x, y)pn−2 + . . . + an−1 (x, y)p + an (x, y) = 0.
as
En caso que sea posible que la ecuaci´n anterior se pueda factorizar en
o
atic
factores lineales de p, se obtiene lo siguiente:
atem
(p − f1 (x, y))(p − f2 (x, y)) . . . (p − fn (x, y)) = 0,
donde fi (x, y) para i = 1, . . . , n son funciones reales e integrables en una re-
eM
gi´n R del plano XY .
o
o. d
Si cada factor tiene una soluci´n ϕi (x, y, c) = 0, para i = 1, . . . , n.
o
n
entonces la soluci´n general es i=1 ϕi (x, y, c) = 0.
o
ept
Ejemplo 14. (y − sen x)((y )2 + (2x − ln x)y − 2x ln x) = 0.
,D
Soluci´n:
o
uia
(p − sen x)(p2 + (2x − ln x)p − 2x ln x) = 0
tioq
(p − sen x)(p + 2x)(p − ln x) = 0
An
dy
Para el factor p − sen x = 0 ⇒ dx
− sen x = 0 ⇒ dy = sen x dx ⇒
y = − cos x + C
de
ad
φ1 (x, y, C) = 0 = y + cos x − C
rsid
dy
Para el factor p + 2x = 0 ⇒ dx
= −2x ⇒ dy = −2x dx
ive
Un
⇒ y = −x2 + C ⇒ φ2 (x, y, C) = 0 = y + x2 − C
dy
Para el factor p − ln x = 0 ⇒ dx
= ln x ⇒ dy = ln x dx
y= ln x dx + C,
e integrando por partes:
35

30. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
1
y= ln x dx + C = x ln x − x dx = x ln x − x + C
x
φ3 (x, y, C) = 0 = y − x ln x + x − C
3
La soluci´n general es:
o i=1 φi (x, y, C) = 0
(y + cos x − C)(y + x2 − C)(y − x ln x + x − C) = 0
as
Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios:
e
atic
Ejercicio 1. p (p2 − 2xp − 3x2 ) = 0.
atem
(Rta.: (y − c)(2y − 3x2 + c)(2y + x2 + c) = 0)
eM
2
dν dν
Ejercicio 2. 6µ2 dµ
− 13µν dµ − 5ν 2 = 0.
1 5
o. d
(Rta.: (νµ 3 − c)(νµ− 2 − c) = 0)
Ejercicio 3. (y )3 − y(y )2 − x2 y + x2 y = 0.
2 2
ept
(Rta.: (x − ln |y| + c)(y + x − c)(y − x − c) = 0)
,D
2 2
uia
dy
Ejercicio 4. n2 p2 − x2n = 0, con n = 0 y dx
=p=y.
xn+1 xn+1
(Rta.: (y + n(n+1) − c)(y − n(n+1) − c) = 0)
tioq
An
Ejercicio 5. Denotando por P cualquier punto sobre una curva C y T
el punto de intersecci´n de la tangente con el eje Y . Hallar la ecuaci´n de C
o o
de
si P T = k.
√ √
2 2
2
(Rta.:(y + c)2 = k 2 − x2 + k ln k −x −k , con |x| ≤ k, k > 0.)
ad
x
rsid
Caso ii). Son ecuaciones de la forma F (x, y, p) = 0 y de la cual puede
despejarse y, es decir: y = f (x, p), donde x y p se consideran como variables
ive
independientes, la diferencial total es:
Un
∂f ∂f
dy = dx + dp
∂x ∂p
luego
dy ∂f ∂f dp
=p= +
dx ∂x ∂p dx
36

31. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
o sea que
∂f ∂f dp dp
0= −p + = g(x, p, p ), donde p =
∂x ∂p dx dx
y por tanto
∂f ∂f
−p dx + dp = 0
∂x ∂p
as
atic
es una E.D. de primer orden en x y p. Generalmente (teniendo buena suerte)
atem
g(x, p, p ) = 0
se puede factorizar, quedando as´ g(x, p, p ) = h(x, p, p ) φ (x, p) = 0.
ı:
eM
a) Con el factor h(x, p, p ) = 0 se obtiene una soluci´n h1 (x, p, c) = 0,
o
o. d
se elimina p entre h1 (x, p, c) = 0 y F (x, y, p) = 0 y se obtiene la soluci´n
o
general.
ept
b) Con φ(x, p) = 0 se obtiene una soluci´n singular, al eliminar p entre
o
,D
φ(x, p) = 0 y F (x, y, p) = 0.
uia
2 dy
Ejemplo 15. y = f (x, p) = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 − x , donde p =
2 dx
tioq
dy ∂f ∂f dp
Soluci´n:
o dx
=p= ∂x
+ ∂p dx
An
si x = 0
1 dp
de
p = (p+2x) ln x+(px+x2 ) +2(px+x2 )(p+2x)−x+[x ln x+2(px+x2 )x]
x dx
ad
dp
p = (p + 2x) ln x + p + x + 2x(p + x)(p + 2x) − x + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx
rsid
ive
dp
0 = (p + 2x) ln x + 2x(p + x)(p + 2x) + [x ln x + 2x2 (p + x)] dx
Un
dp
0 = (p + 2x)[ln x + 2x(p + x)] + x[ln x + 2x(p + x)] dx
dp
0 = [ln x + 2x(p + x)] p + 2x + x dx
0 = h(x, p), Φ(x, p, p )
37

32. CAP´
ITULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES EN MAPLE,
PROF.JAIME ESCOBAR A.
dp
1) Con el factor Φ(x, p, p ) = p + 2x + x dx = 0
dp x=0 dp p
⇒ x dx + p = −2x ⇒ dx
+ x
= −2 (dividimos por x)
1
E.D.lineal en p, P (x) = x , Q(x) = −2
1
P (x) dx
F.I. = e =e x
dx
= eln |x| = x
p F.I. = F.I.Q(x) dx + C
as
atic
2
px = x(−2) dx + C = − 2x + C = −x2 + C
2
atem
C
p = −x + x
(dividimos por x)
eM
luego sustituimos en la E.D. original:
x2
o. d
y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 −
2
ept
x2
y = (−x2 + C + x2 ) ln x + (−x2 + C + x2 )2 −
,D
2
uia
soluci´n general
o
x2
y = C ln x + C 2 −
tioq
2
2) h(x, p) = ln x + 2x(p + x) = 0
An
0 = ln x + 2xp + 2x2
de
ad
2xp = − ln x − 2x2
rsid
2 2
luego p = − ln x−2x ⇒ px = − ln x+2x
ive
2x 2
Un
sustituyo en la E.D. original:
x2
y = (px + x2 ) ln x + (px + x2 )2 −
2
2
ln x + 2x2 ln x + 2x2 x2
y= − + x2 ln x + − + x2 −
2 2 2
38

33. 2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN
2
− ln x − 2x2 + 2x2 − ln x − 2x2 + 2x2 x2
y= ln x + −
2 2 2
ln2 x ln2 x x2
y=− + −
2 4 2
luego la soluci´n singular es
o
ln2 x x2
as
y=− −
4 2
atic
dy
Resolver por el m´todo anterior los siguientes ejercicios, donde p =
e :
atem
dx
Ejercicio 1. xp2 − 2yp + 3x = 0.
eM
(Rta.: 2cy = c2 x2 + 3, y 2 = 3x2 )
o. d
Ejercicio 2. y = px ln x + p2 x2 .
(Rta.: y = c ln x + c2 , y = − 4 ln2 x)
1
ept
Ejercicio 3. y = 5xp + 5x2 + p2 .
,D
(Rta.: y = cx − x2 + c2 , 4y + 5x2 = 0)
uia
Ejercicio 4. p2 x4 = y + px.
tioq
1
(Rta.: y = c2 − cx−1 , y = − 4x2 )
An
Ejercicio 5. 2y = 8xp + 4x2 + 3p2 .
2
(Rta.: 2y = 3(c − x)2 + 8(c − x)x + 4x2 , y = − 2x )
de
3
ad
1
Ejercicio 6. y = xp − 3 p3 .
rsid
3
(Rta.: y = cx − 1 c3 , y = ± 2 x 2 )
3 3
ive
Caso iii). Si en la ecuaci´n F (x, y, p) = 0, se puede despejar x = g(y, p)
o
dy 1
con y y p como variables independientes; hacemos dx = p, o sea que dx = p
Un
dy
y como
∂g ∂g
dx = dy + dp
∂y ∂p
luego
dx 1 ∂g ∂g dp
= = +
dy p ∂y ∂p dy
39